Question

10．已知兩個(gè)數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中{a_n}是等比數(shù)列，且a₂=$\frac{1}{4}$，a₅=-$\frac{1}{32}$，b_n=$\frac{1}{3}$（1-a_n）．
（Ⅰ）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$可得公比q，進(jìn)而可得a_n的表達(dá)式，計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)計(jì)算可得S_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n}$]，對(duì)n分奇、偶數(shù)討論即可．

解答 （Ⅰ）解：∵a³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$-\frac{1}{8}$，∴q=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=a₂•q^n-2=$\frac{1}{4}$•$（-\frac{1}{2}）^{n-2}$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=$\frac{1}{3}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n}$]；
（Ⅱ）證明：S_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{3}$[$（-\frac{1}{2}）^{1}$+$（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n}$]
=$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{（-\frac{1}{2}）[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$
=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n}$]，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＞$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{12}$；
綜上：S_n≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式及求和公式，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．