Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

，（x∈R）．
（1）用定義證明：不論a為何實數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（2）問是否存在這樣的實數(shù)a使得f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）任取x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．根據(jù)已知只要判斷出函數(shù)值差的符號即可
（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)有 f（0）=0，代入可求a

解答：（1）證明：任取x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）解：存在，證明如下
∵若f（x）在x∈R上為奇函數(shù)，則有 f（0）=0，
即a-

1

20+1

=0．
解得 a=

1

2

．經(jīng)檢驗滿足題設(shè)

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明（判斷）函數(shù)單調(diào)性中的簡單應(yīng)用，奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0（0在定義域內(nèi)），屬于基礎(chǔ)試題