Question

數(shù)列、的每一項都是正數(shù),,,且、、成等差數(shù)列,、、成等比數(shù)列,.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求數(shù)列、的通項公式；
（Ⅲ）證明:對一切正整數(shù),有.

Answer 1

(Ⅰ)；（Ⅱ），；（Ⅲ）答案詳見解析.

試題分析：(Ⅰ)依題意，，，并結(jié)合已知，，利用賦值法可求、的值；（Ⅱ）由①，②，且，則，（），代入①中，得關(guān)于的遞推公式，故可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出，代入（）中，求出（），再檢驗時，是否滿足，從而求出；（Ⅲ）和式相當(dāng)于數(shù)列的前項和，先確定其通項公式，根據(jù)通項公式的不同形式，選擇相應(yīng)的求和方法，先求得，不易求和，故可考慮放縮法，將其轉(zhuǎn)化為容易求和的形式，再證明和小于.
試題解析：(Ⅰ)由，可得，由，可得.
（Ⅱ）因為、、成等差數(shù)列，所以…①.因為、、成等比數(shù)列，所以，因為數(shù)列、的每一項都是正數(shù)，所以…②.于是當(dāng)時，…③.將②、③代入①式，可得，因此數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，于是.由③式，可得當(dāng)時，.當(dāng)時，，滿足該式子，所以對一切正整數(shù)，都有.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所證明的不等式為.
方法一:首先證明（）.
因為
,
所以當(dāng)時，.
當(dāng)時，.
綜上所述，對一切正整數(shù)，有
方法二:.
當(dāng)時，

.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
綜上所述，對一切正整數(shù)，有
方法三:.當(dāng)時,
.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
綜上所述，對一切正整數(shù)，有