Question

10．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱錐D₁-AB₁C的表面積與正方體的表面積的比為（　�。�

• A． 1：1
• B． 1；$\sqrt{2}$
• C． 1：$\sqrt{3}$
• D． 1；2

Answer 1

分析 設(shè)出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長，求出正方體的表面積和三棱錐D₁-AB₁C的表面積即可．

解答 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
則正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面積為S₂=6a²，
且三棱錐D₁-AB₁C為各棱長均為$\sqrt{2}$a的正四面體，
其中一個面的面積為
S=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{2}$a×$\sqrt{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
所以三棱錐D₁-AB₁C的表面積為：
S₁=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=2$\sqrt{3}$a²；
所以三棱錐D₁-AB₁C的體積與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面積之比為：
S₁：S₂=1：$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了正方體與三棱錐的表面積公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．