Question

14．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求異面直線AE與C₁F所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，得到側(cè)棱BB₁與AB垂直，再由AB⊥BC，且BC∩BB₁=B，即可得證；
（2）如圖，取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)C₁F，GF，易得AE∥C₁G，確定出∠GC₁F就是異面直線AE與C₁F所成的角，求出即可．

解答 （1）證明：在三棱柱ABC，A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AB，
又∵AB⊥BC，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）解：如圖，取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)C₁F，GF，易得AE∥C₁G，
∴∠GC₁F就是異面直線AE與C₁F所成的角，
由（1）可知直線AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥C₁F，
又AB∥GF，
∴GF⊥C₁F，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又在Rt△CC₁G中，根據(jù)勾股定理得：C₁G=$\sqrt{C{G}^{2}+C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠GC₁F=$\frac{GF}{{C}_{1}G}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
則異面直線AE與C₁F所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，確定出異面直線所求的角是解本題的關(guān)鍵．