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已知f（x）=lnx+x2-bx．
（1）若函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（2）當b=-1時，設g（x）=f（x）-2x2，求證函數g（x）只有一個零點．
分析：（1）其導函數，利用f（x）在（0，+∞）上遞增，可得f′（x）≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，即可求得b的取值范圍；
（2）當b=-1時，g（x）=f（x）-2x2=lnx-x2+x，其定義域是（0，+∞），求導函數，確定合適的單調性，利用當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0，即可得到結論．
解答：（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f′（x）=
1
x
+2x-b≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤
1
x
+2x對x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（
1
x
+2x）min�。▁＞0），
∵x＞0，
∴
1
x
+2x≥2
2
，當且僅當x=
2
2
時取“=”，∴b≤2
2
，
∴b的取值范圍為（-∞，2
2
]．
（2）證明：當b=-1時，g（x）=f（x）-2x2=lnx-x2+x，其定義域是（0，+∞），
∴g′（x）=
1
x
-2x+1=-
2x2-x-1
x
，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0，
∴函數g（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，
∴當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0．
∴函數g（x）只有一個零點．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性、函數的零點，解題的關鍵是確定函數的單調性，分離參數，確定函數的最小值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的三個函數f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-a
x
，且g（x）在x=1處取得極值．
（1）求a的值及h（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：當1＜x＜e2時，恒有x＜
2+f(x)
2-f(x)
；
（3）把h（x）對應的曲線C1向上平移6個單位后得到曲線C2，求C2與g（x）對應曲線C3的交點的個數，并說明道理．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g(x)=x+
a
x
（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）當n∈N*，n≥2時，證明：
ln2
3
•
ln3
4
•…•
lnn
n+1
＜
1
n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx-
a
x
．
（Ⅰ）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調性；
（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=x2-x，
（1）求函數h（x）=f（x）-g（x）的單調增區(qū)間；
（2）當x∈[-2，0]時，g（x）≤2c2-c-x3恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx+cosx，則f（x）在x=
π2
處的導數值為
 
．

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