Question

下面有五個命題
①函數(shù)f（x）=sin⁴x-cos⁴x圖象的一個對稱中心是(-

π

4

，0)；
②y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點（-1，1）對稱，
③定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函數(shù)，在銳角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），則m和n的大小關(guān)系為m＞n
④設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，則方程f(x)=f(

x+3

x+4

)所有根之和為8
⑤不等式sinx＞

4x2

π2

對任意x∈(0，

π

2

)恒成立．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題

分析：①化簡函數(shù)f（x），判斷f（x）圖象的一個對稱中心是(-

π

4

，0)即可；
②求出函數(shù)y的圖象關(guān)于某點對稱的點的坐標(biāo)；
③根據(jù)題意得出f（x）的周期性于單調(diào)性，再得出sinA+sinB＞cosA+cosC，利用f（x）的單調(diào)性判斷m、n的大��；
④利用f（x）的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合題意求出f（x）=f（

x+3

x+4

）時，所有x的和是多少；
⑤設(shè)f（x）=sinx-

4x2

π2

，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在（0，

π

2

）上的增減性與極值，從而判斷sinx＞

4x2

π2

是否恒成立．

解答： 解：對于①，∵函數(shù)f（x）=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，
當(dāng)x=-

π

4

時，f（x）=-cos[2×（-

π

4

）]=0，
∴f（x）圖象的一個對稱中心是(-

π

4

，0)，①正確；
對于②，∵y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，∴y的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，∴②錯誤；
對于③，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為4的函數(shù)；
又∵f（x）在[-6，-4]上是增函數(shù)，∴f（x）在[-2，0]上也是增函數(shù)；
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
在銳角△ABC中，A+C＞

π

2

，∴A＞

π

2

-C，
∵y=sinx在區(qū)間（0，

π

2

）上是增函數(shù)，

π

2

＞A＞

π

2

-C＞0，
∴sinA＞sin（

π

2

-C）=cosC，即銳角三角形的兩個內(nèi)角A、C是滿足sinA＞cosC，
同理，sinB＞cosA，
∴sinA+sinB＞cosA+cosC，且（sinA+sinB）∈（0，2），cosA+cosC∈（0，2），
∵m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），∴m＜n，③錯誤；
對于④，∵f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，
∴當(dāng)f（x）=f（

x+3

x+4

）時，有x=

x+3

x+4

或-x=

x+3

x+4

，
整理得x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
∴x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5；
∴滿足f（x）=f（

x+3

x+4

）的所有x的和為（-3）+（-5）=-8，∴④錯誤；
對于⑤，設(shè)f（x）=sinx-

4x2

π2

，∴f′（x）=cosx-

8

π2

x，
令f′（x）=0，得f（x）在（0，

π

2

）上恒有f（x）≥min{f（0），f（

π

2

）}=0，
∴sinx＞

4x2

π2

對任意x∈(0，

π

2

)恒成立，∴⑤正確．
綜上，正確的命題是①⑤．
故答案為：①⑤．

點評：本題通過命題真假的判斷，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、周期性的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是難題．