Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：x＞1時(shí)，$\frac{1}{2}$x²+lnx＜$\frac{2}{3}$x³．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）構(gòu)造函數(shù)$g（x）=\frac{2}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx$，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）的最值，然后去證明不等式．

解答 解：（1）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=x-$\frac{1}{x}=\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，有x＞1；
∴函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
令f′（x）＜0，有0＜x＜1．
∴函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．
證明：（2）設(shè)$g（x）=\frac{2}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx$，則$g'（x）=2{x}^{2}-x-\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，$g'（x）=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}＞0$，
∴g （x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故$g（x）＞g（1）=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}＞0$
∴當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．