Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2

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，AC、BD交于O點，點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）證明：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）GH∥EF；
（Ⅲ）若EB=2，求四邊形GEFH的面積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先，AC、BD交于點O，結(jié)合△PAC和△PBD均為等腰三角形，從而得到結(jié)果；
（Ⅱ）首先，可以結(jié)合條件，得到BC∥EF，然后，BC∥GH，即得證明；
（Ⅲ）設(shè)BD與EF交于點K，連接GK，得到PO∥GK，K為靠近點BD的四等分點，然后，得證．

解答： 解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為正方形，且AC、BD交于點O，
∴O為AC、BD的中點，由已知得
PA=PC，PB=PD，
△PAC和△PBD均為等腰三角形，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
又AC、BD?平面ABCD，且AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
（Ⅱ）∵BC∥平面GEFH，
BC?平面ABCD，平面GEFH∩平面ABCD=EF，
∴BC∥EF，
同理可得，BC∥GH，
∴GH∥EF，
（Ⅲ）設(shè)BD與EF交于點K，連接GK，
∵PO⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，又平面GEFH∩平面PBD=GK，PO?平面PBD，
∴PO∥GK，
∴GK為四邊形GEFH底邊上的高，
又因為BE=2，AB=8，得點E是靠近B點的AB的四等分點，
∵KE∥AD，
∴K為靠近點BD的四等分點，
∴K為OB的中點，又PO∥GK，
∴G為PB的中點，又GH∥BC，
∴H為PC的中點，又BC=8，
∴GH=4，又由已知得PB=2

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，OB=4

2

，
∴PO=

PB2-OB2

=

68-32

=6，
∴GK=

1

2

PO=3，
又由BC∥EF，BE∥GK，可得EF=8，
∴S=

1

2

（GH+EF）•GK=

1

2

•（4+8）•3=18，

點評：本題重點考查了空間中直線與直線平行和垂直、直線與平面平行和垂直、平面和平面平行和垂直的性質(zhì)和判定等知識，屬于中檔題．