Question

求下列函數的值域
（1）

（2）

（3）y=sinx+cosx+sinxcosx
（4）

（5）

Answer 1

解：（1）原式可化為：sinx-2cosx=2y-1，
∴sin（x+α）=2y-1，即sin（x+α）=，
根據|sin（x+α）|≤1，
∴-1≤≤1，解得：≤y≤；
（2）設e^x=t，原式可化為：y==1-，
∵t＞0，
∴原函數的值域為：（-1，+∞）；
（3）令sinx+cosx=T…①
由同角三角函數關系sinxcosx=，
把①式代入，得sinxcosx=，
所以y=T+，
整理得，y=（T+1）²-1，
而sinx+cosx=sin（x+π/4）∈[-，]
所以y在T[∈[-，]時，不單調
當T=-1時，y取得最小值=-1
當T=時，y取得最大值=+
故值域[-1，+]；
（4）y=x+，
∴y′=1-，∵2≤x≤5，
∴y′＞0，
∴原函數為增函數，
∴y的最大值為：5+=，y的最小值為：2+=，故值域為[，]；
（5）∵，設=t，則t≥0，函數可化為：yt²-t+y=0，當y=0時，x=-1，
當y≠0時，∴△=1-4y²≥0，＞0，
∴0＜y≤，
故原函數的值域為：[0，]．
分析：（1）原式可化為：sinx-2cosx=2y-1，∴sin（x+α）=2y-1，即sin（x+α）=，根據|sin（x+α）|≤1，即可求解；
（2）設e^x=t，原式可化為：y==1-，由t＞0即可得出答案；
（3）令sinx+cosx=T，（1） 由同角三角函數關系sinxcosx=，把（1）式代入，得sinxcosx=，所以y=T+，根據T的取值范圍即可求解；
（4）先求導，然后根據函數的單調性即可得出答案；
（5）設=t，則t≥0，函數可化為：yt²-t+y=0，根據判別式≥0及根與系數的關系即可求解；
點評：本題考查了函數的值域，難度較大，關鍵是掌握以上幾種求函數值域的方法．