Question

（本題滿分12分）

如圖1,在直角梯形中,,,, 為線段的中點.將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.

(Ⅰ)  求證:平面；

(Ⅱ)  求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為.

【解析】(I)可證, ∵面面ABC,從而把面面垂直轉化為線面垂直.證得平面ACD.

(II) 取的中點，的中點,連結,， 然后證明和, 得到

二面角的平面角, 問題到此基本得以解決.也可利用向量法求解.

解法一：（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,

故                        ……………………………………………-3分

∵面面,面面,面,

從而平面……………………………………………6分

（Ⅱ）取的中點，的中點,連結,

∵是的中點  是的中位線,是的中

位線,∴,

又（Ⅰ）可知平面

 ∴平面

∵平面 ∴

又  ∴

連結,∵ ∴平面

又平面， ∴

∴是二面角的平面角……………………………………………9分

在中，,,∴

∴

∴二面角的余弦值為.……………………………………………12分

解法二: （Ⅰ）在圖1中,可得,從而,

故                      ……………………………………………2分

取中點連結,則,又面面,

面面,面,從而平面,…………………………4分

∴                                                 

又,,

∴平面              ……………………………………………6分

（Ⅱ）建立空間直角坐標系如圖所示,

則,,,……8分

設為面的法向量,

則即,解得

令,可得……………………………10分

又為面的一個法向量

∴

∴二面角的余弦值為.…………………12分