Question

求證：如果兩個平面都垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面．

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求證：l⊥γ．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：如圖，設α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ內(nèi)任取一點P．過點P在γ內(nèi)作直線m⊥a，n⊥b． 　　∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β． 　　又α∩β＝l，∴l(xiāng)⊥m，l⊥n．∴l(xiāng)⊥γ． 　　證法二：如圖，設α∩γ＝a，β∩γ＝b， 　　在α內(nèi)作m⊥a，在β內(nèi)作n⊥b． 　　∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n． 　　又nβ，mβ，∴m∥β． 　　又α∩β＝l，mα，∴m∥l． 　　又m⊥γ，∴l(xiāng)⊥γ． 　　方法歸納：充分利用面面垂直的性質(zhì)構造線面垂直是解決本題的關鍵．證法一充分利用面面垂直、線面垂直、線線垂直相互轉化；證法二涉及平行關系與垂直關系之間的轉化．此題是線線、線面、面面垂直轉化的典型題，一題多解，對溝通知識和方法，開拓解題思路很有益處．

提示：

分析一：根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，可在γ內(nèi)構造兩相交直線分別與平面α、β垂直． 　　分析二：由面面垂直的性質(zhì)易在α、β內(nèi)作出平面γ的垂線，再設法證明l與其平行即可．