【題目】如圖，四棱柱的底面為菱形，底面，，，，分別為，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若，求異面直線與所成角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）證明平面，可證與平面內(nèi)的直線平行，則取的中點(diǎn)，連接，即可。

（Ⅱ）證明平面平面，可證平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（Ⅲ）由（I）知，，則（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角．在中，分別求出，，，通過余弦定理可求得與所成角的余弦值。

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，

∵，，，，

∴，．

∴四邊形是平行四邊形．

∴．

又平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）在菱形中，

∵， ∴，∴是等邊三角形．

∴．∴．

又平面， ∴．

又 ,∴平面．

∴平面

∴平面平面．

（Ⅲ）由（I）知，，

則（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角．

在中，∵，，，

∴．

∴異面直線與所成角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】基于移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國，給人們帶來新的出行體驗(yàn)，某共享單車運(yùn)營公司的市場研究人員為了了解公司的經(jīng)營狀況，對(duì)公司最近6個(gè)月的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

月份

2018.11

2018.12

2019.01

2019.02

2019.03

2019.04

月份代碼

1

2

3

4

5

6

11

13

16

15

20

21

（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合與月份代碼之間的關(guān)系.如果能，請(qǐng)計(jì)算出關(guān)于的線性回歸方程，如果不能，請(qǐng)說明理由；

（2）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴(kuò)大市場，從成本1000元/輛的型車和800元/輛的型車中選購一種，兩款單車使用壽命頻數(shù)如下表：

車型 報(bào)廢年限

1年

2年

3年

4年

總計(jì)

10

30

40

20

100

15

40

35

10

100

經(jīng)測算，平均每輛單車每年能為公司帶來500元的收入，不考慮除采購成本以外的其它成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，用頻率估計(jì)每輛車使用壽命的概率，以平均每輛單車所產(chǎn)生的利潤的估計(jì)值為決策依據(jù)，如果你是公司負(fù)責(zé)人，會(huì)選擇哪款車型？

參考數(shù)據(jù)：，，，.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩名大學(xué)生因?yàn)閷W(xué)習(xí)需要，欲各自選購一臺(tái)筆記本電腦，他們決定在A，B，C三個(gè)品牌的五款產(chǎn)品中選擇，這五款筆記本電腦在某電商平臺(tái)的價(jià)格與銷量數(shù)據(jù)如表所示：

品牌

A

B

C

型號(hào)

A﹣1

A﹣2

B﹣1

B﹣2

C﹣1

價(jià)格（元）

6000

7500

10000

8000

4500

銷量（臺(tái)）

1000

1000

200

800

3000

（Ⅰ）若甲選擇某品牌的筆記本電腦的概率與該品牌的總銷量成正比，求他選擇B品牌的筆記本電腦的概率；

（Ⅱ）若甲、乙兩人選擇每種型號(hào)的筆記本電腦的概率都相等，且兩人選購的型號(hào)不相同，求他們兩人購買的筆記本電腦的價(jià)格之和大于15000元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法：①若線性回歸方程為，則當(dāng)變量增加一個(gè)單位時(shí)，一定增加3個(gè)單位；②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不會(huì)改變；③線性回歸直線方程必過點(diǎn)；④抽簽法屬于簡單隨機(jī)抽樣；其中錯(cuò)誤的說法是（ ）

A.①③B.②③④C.①D.①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)盒子中裝有4個(gè)編號(hào)依次為1、2、3、4的球，這4個(gè)球除號(hào)碼外完全相同，先從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為．

（Ⅰ）列出所有可能結(jié)果；

（Ⅱ）求事件“取出球的號(hào)碼之和小于4”及事件 “編號(hào)”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年11月5日至10日，首屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在國家會(huì)展中心（上海）舉行，吸引過來58個(gè)“一帶一路”沿線國家的超過1000多家企業(yè)參展，成為共建“一帶一路”的又一個(gè)重要支撐。某企業(yè)為了參加這次盛會(huì)，提升行業(yè)競爭力，加大了科技投入；該企業(yè)連續(xù)6年來得科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理，如下表：

其中，．

（1）（）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（保留一位小數(shù)）；

（）根據(jù)所建立回歸方程，若該企業(yè)想在下一年的收益達(dá)到2億，則科技投入的費(fèi)用至少要多少（其中）？

（2）乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在二次曲線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲乙兩位員工所建立的模型，誰的擬合效果更好．

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，……，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，相關(guān)指數(shù)：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校高二理科8班共有50名學(xué)生參加學(xué)業(yè)水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語文成績近似服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖.

（I）這50名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的大約各有多少人？

（Ⅱ）如果語文和數(shù)學(xué)兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數(shù)學(xué)優(yōu)秀的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)（I）（Ⅱ）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認(rèn)為語文成績優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績也優(yōu)秀？

附：①若~，則，；

②；

③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，且交于點(diǎn)，是上任意一點(diǎn).

（1）求證；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求的長.

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同步練習(xí)冊(cè)答案