Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足（x-1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)|x₁-1|＜|x₂-1|時，有（　�。�

A．f（2-x1）≥f（2-x2）	B．f（2-x1）=f（2-x2）
C．f（2-x1）＜f（2-x2）	D．f（2-x1）≤f（2-x2）

Answer 1

①若f（x）=c，則f'（x）=0，此時（x-1）f'（x）≤0和y=f（x+1）為偶函數(shù)都成立，
此時當(dāng)|x₁-1|＜|x₂-1|時，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．
②若f（x）不是常數(shù)，因為函數(shù)y=f（x+1）為偶函數(shù)，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=1對稱，所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
當(dāng)x＞1時，f'（x）≤0，此時函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＜1時，f'（x）≥0，此時函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增．
若x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．
同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂）．
若x₁，x₂中一個大于1，一個小于1，不妨設(shè)x₁＜1，x₂≥1，則-（x₁-1）＜x₂-1，
可得1＜2-x₁＜x₂，所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．
綜上有f（x₁）＞f（x₂），即f（2-x₁）＞f（2-x₂），
故選A．