已知方程x2+y2-2mx-4y+5m=0的曲線是圓C
(1)求m的取值范圍;
(2)當m=-2時,求圓C截直線l:2x-y+1=0所得弦長;
(3)若圓C與直線2x-y+1=0相交于M,N兩點,且以MN為直徑的圓過坐標原點O,求m的值?
解(1)方程x
2+y
2-2mx-4y+5m=0化為:(x-m)
2+(y-2)
2=m
2-5m+4m
2-5m+4
方程表示圓的方程,所以m
2-5m+4m
2-5m+4>0
解得:m<1或m>4;
(2)設m=-2,圓心為C(-2,2),半徑R=3
,
圓心到直線的距離為
,
圓C截直線l:2x-y+1=0所得弦長為:
;
(3)以MN為直徑的圓過坐標原點O,
即OM⊥ON
設M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),則x
1x
2+y
1y
2=0
由
整理得 5x
2-(2m+4)x+5m-3=0,
,
x
1x
2+y
1y
2=5x
1x
2+2(x
1+x
2)+1=0,
經(jīng)檢驗,此時△=(2m+4)
2-20(5m-3)>0
∴
分析:(1)圓的方程化為標準形式,利用右側大于0,即可求m的取值范圍;
(2)當m=-2時,通過弦心距,半徑,半弦長滿足勾股定理,求圓C截直線l:2x-y+1=0所得弦長;
( 3)若圓C與直線2x-y+1=0相交于M,N兩點,且以MN為直徑的圓過坐標原點O,得到
,設M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),推出x
1x
2+y
1y
2=0,聯(lián)立
,推出x
1x
2+y
1y
2=5x
1x
2+2(x
1+x
2)+1=0,求m的值?
點評:本題考查直線與圓的位置故選,圓的方程的判斷,考查函數(shù)與方程的思想,轉化思想.設而不求的解題方法,考查計算能力.