Question

（本題滿分12分）
已知為實(shí)數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).
（1）求導(dǎo)數(shù)；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是遞增的，求的取值范圍．

Answer 1

（1）.
（2）在上的最大值為，最小值為.
（3）.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值的思想的運(yùn)用，和利用單調(diào)性，逆向求解參數(shù)的取值范圍的綜合運(yùn)用。
（1）主要是考查了初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。
（2）由由，得得到解析式，然后確定解析式后再求解導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，得到最值。
（3）如果函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，說(shuō)明在該區(qū)間導(dǎo)數(shù)值恒大于等于零，分離參數(shù)的思想求解得到。
解：（1）.
（2），.
由，得，此時(shí)，，
由，得或.
又，，，
在上的最大值為，最小值為.
（3）解法一，
依題意：對(duì)恒成立,即
,所以
對(duì)恒成立,即
,所以
綜上: .
解法二，的圖像是開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)的拋物線，由條件得，，
，.解得. 的取值范圍為．