Question

已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112317568593594/SYS201312021123175685935018_ST/4.png">，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且ω∈（0，1），即可求得函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）確定h（x）=2sin（2x-），關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，等價于2sint+k=0在上有且只有一個實數(shù)解，由此可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵向量，，
∴=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+）
∵函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，∴2sin（πω+）=±2
∴πω+=kπ+（k∈Z），即ω=k+（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=
∴f（x）=2sin（x+）；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112317568593594/SYS201312021123175685935018_DA/18.png">，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y(tǒng)=h（x）=2sin（2x-）的圖象，
令2x-=t，∵x∈，∴
∴關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，即2sint+k=0在上有且只有一個實數(shù)解，
即y=2sint，的圖象與y=-k有且只有一個交點，
∴-＜k≤或k=-2．
點評：本題考查向量的數(shù)量積運算，考查函數(shù)解析式的確定，考查圖象的變換，考查解的問題，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．