Question

已知函數(shù)f（x）=在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，
（I）若m=0，n=1時，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．則當f（n）-f（m）取最小值時，
（i）求實數(shù)a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）圖象上的兩點，且存在實數(shù)x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=，證明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

解：（I）若m=0，n=1，由已知函數(shù)f（x）= 在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，
可得 f′（x）== 在區(qū)間[0，1]上恒正，
故有，解得a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．
（Ⅱ）（i）因為f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2=2=4，當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立．
由f（n）=，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0； 由f（m）=，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；
故f（n）-f（m）取得最小值時，a=0，n=1．
（ii）此時，f′（x₀）=，=，
由f′（x₀）=，可得 =．
欲證x₁＜x₀＜x₂，先比較 與 的大�。�
由于 -=-==．

因為0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即 -＜0．
另一方面，-=，

因為0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，從而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可證x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．
分析：（I）由題意可得可得 f′（x）== 在區(qū)間[0，1]上恒正，故有，由此求得實數(shù)a的取值范圍
（Ⅱ）（i）因為f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2=2=4，當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立，由此求得a的值．
（ii）先求得f′（x₀）=，=，可得 =．欲證x₁＜x₀＜x₂，先用作差法求得 ＜．另一方面，根據(jù) -=，可得x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可證x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究單調(diào)性，求最值，比較大小中的應(yīng)用，屬于中檔題．