Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)， 的中點(diǎn)在圓上，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知， ，得， ，代入橢圓的方程，再由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積得，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得到，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè): ，聯(lián)立方程組，求得，求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程，得，再由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到的表達(dá)式，即可求解面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，得， ，

所以，

由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4，得，

所以， ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

令，得， ，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè): ， ， ， ，

由，得，

則， ，

所以， ，

將代入，得，

又因?yàn)?/span> ，

原點(diǎn)到直線的距離，

所以

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

綜上所述， 面積的最大值為1.