Question

袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取2個(gè)都是白球的概率為

5

12

．現(xiàn)甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1個(gè)球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球時(shí)終止．用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù)．
（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；
（2）求隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率的應(yīng)用問題，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是從9個(gè)球中取2個(gè)球，共有C₉²種結(jié)果，而滿足條件的事件是從n個(gè)球中取2個(gè)，共有C_n²種結(jié)果，列出概率使它等于已知，解關(guān)于n的方程，舍去不合題意的結(jié)果．
（2）用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù)，由題意知X的可能取值為1，2，3，4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，用等可能事件的概率公式做出結(jié)果，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率的應(yīng)用問題，
試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是從9個(gè)球中取2個(gè)球，共有C₉²種結(jié)果
而滿足條件的事件是從n個(gè)球中取2個(gè)，共有C_n²種結(jié)果
設(shè)袋中原有n個(gè)白球，則從9個(gè)球中任取2個(gè)球都是白球的概率為

C 2 n

C 2 9

，
由題意知

C 2 n

C 2 9

=

5

12

，即

n(n-1) 2

9×8 2

=

5

12

，
化簡(jiǎn)得n²-n-30=0．
解得n=6或n=-5（舍去）
故袋中原有白球的個(gè)數(shù)為6．
（2）用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù)，
由題意，X的可能取值為1，2，3，4．
P(X=1)=

6

9

=

2

3

；
P(X=2)=

3×6

9×8

=

1

4

；
P(X=3)=

3×2×6

9×8×7

=

1

14

；
P（X=4）=

3×2×1×6

9×8×7×6

=

1

84

．
∴取球次數(shù)X的概率分布列為：

∴所求數(shù)學(xué)期望為E（X）=1×

2

3

+2×

1

4

+3×

1

14

+4×

1

84

=

10

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一個(gè)綜合題，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問題，要引起注意．