Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）的增減性，并進(jìn)行證明；
（3）若x∈（3，+∞）時，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
定義域為（1，+∞）不關(guān)于原點對稱
故函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)
（2）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）=log2 

x+1

x-1

（x＞1）
令g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，設(shè)x₁＞x₂＞1
則g（x₁）-g（x₂）=1+

2

x1-1

-(1+

2

x2-1

)=

2(x2-x1)

(x1-1) (x2-1)

∵x₁＞x₂＞1
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減
（3）若x∈（3，+∞）時，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，
則m＞[f（x）-2^x]_max=[log2 

x+1

x-1

-2^x]_max
而log2 

x+1

x-1

-2^x在（3，+∞）上單調(diào)遞減
∴[log2 

x+1

x-1

-2^x]＜-7
∴實數(shù)m的取值范圍是m≥-7