證明雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸近線的距離乘積是一個(gè)常數(shù)．

 

答案：
解析：

證明：設(shè)雙曲線方程為，

它的兩條漸近線方程為bx＋ay＝0，bx－ay＝0，

設(shè)P（x，y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，

則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為

（常數(shù)）

 


提示：

在給定的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，x、y是變量，a、b是常數(shù)．所以只須計(jì)算雙曲線上任意一點(diǎn)P（x，y）到兩條漸近線距離的乘積能用a、b表示（不含x、y）即可．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•楊浦區(qū)二模）（文）設(shè)F1、F2分別為橢圓C：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞0，n＞0且m≠n）的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，
3
2
）到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于4，求橢圓C的方程．
（2）如果點(diǎn)P是（1）中所得橢圓上的任意一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
=0，求△PF1F2的面積．
（3）若橢圓C具有如下性質(zhì)：設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為KQM、KQN，那么KQM和KQN之積是與點(diǎn)Q位置無(wú)關(guān)的定值．試問(wèn)：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）是否具有類(lèi)似的性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．通過(guò)對(duì)上面問(wèn)題進(jìn)一步研究，請(qǐng)你概括具有上述性質(zhì)的二次曲線更為一般的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

證明雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸近線的距離乘積是一個(gè)常數(shù)．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高二數(shù)學(xué) 教學(xué)與測(cè)試 題型：047

證明：雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積是一個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是雙曲線-=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線的左支上,點(diǎn)M在雙曲線的右準(zhǔn)線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若|OM|=|F2M|,

①求雙曲線的漸近線方程;

②證明此雙曲線上任意一點(diǎn)到其兩條漸近線的距離之積為.

(2)若四邊形OMPF1是菱形,Q為雙曲線右支上一點(diǎn),且△F1F2Q的面積為,求|OQ|的最小值.

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