Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=4，M、N分別為CC₁、A₁C₂的中點．
（I）求證：AM⊥平面B₁MN；
（II）求二面角A₁-B₁M-A的大�。�

Answer 1

證明：（I）分別以BA、BB₁、BC為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系B-xyz，則A（2，0，0），M（0，2，2），B₁（0，4，0），N（1，4，1），
∴，
∴，
∴AM⊥B₁N，AM⊥B₁M，
又B₁N∩B₁M=B₁，
∴AM⊥平面B₁MN 
解：（II）由（I）知，
AM⊥平面B₁MN，
∵B₁M?平面B₁MN，
∴AM⊥B₁M，
∵A₁B⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，
∵B₁M?平面B₁BCC₁，∴A₁B₁⊥B₁M，
∵，
∴．
故二面角A₁-B₁M-A的大小為．

分析：（I）分別以BA、BB₁、BC為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系B-xyz，分別求出向量，的坐標進而根據向量數(shù)量積為0，則兩向量垂直，得到AM⊥B₁N，AM⊥B₁M，結合線面垂直的判定定理得到AM⊥平面B₁MN；
（II）由（I）中的結論可得AM⊥平面B₁MN，進而AM⊥B₁M，根據直三棱柱的幾何特征，我們還可得A₁B₁⊥B₁M，根據二面角的定義，我們易得二面角A₁-B₁M-A的平面角等于異面直線AM與A₁B₁的夾角，分別求出異面直線AM與A₁B₁的方向向量，代入向量夾角公式即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立空間坐標系，將空間直線與直線的垂直，夾角，平行問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．