Question

（本小題滿分13分）

如圖7所示，在邊長為12的正方形中，，且AB=3，BC=4，分別交BB₁，CC₁于點P、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得與AA₁重合，構(gòu)成如圖5所示的三棱柱ABC—A₁B₁C₁，請在圖5中解決下列問題：

   （1）求證：；

   （2）在底邊AC上有一點M，滿足AM：MC=3：4，求證：BM//平面APQ。

   （3）求直線BC與平面APQ所成角的正弦值。

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（1）證明：因為，，

       所以，從而，

       即．      2分

       又因為，而，

       所以平面,又平面

       所以；                   

   （2）過作交于,連接,

       因為

          

       ，，

       四邊形為平行四邊形

       ,所以平面     

   （3）由圖1知，,分別以為軸，

       則

                    

       設(shè)平面的法向量為，

       所以得，

       令，則，

       所以直線與平面所成角的正弦值為