Question

對于定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720142687469696/SYS201411172014427033116686_ST/SYS201411172014427033116686_ST.001.png">的函數(shù)，若同時(shí)滿足：

①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間[]，使在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720142687469696/SYS201411172014427033116686_ST/SYS201411172014427033116686_ST.009.png">；

那么把函數(shù)（）叫做閉函數(shù)．

(1) 求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；

(2) 若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）或或 ，（2）.

【解析】

試題分析：（1）新定義的問題，首先按新定義進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. 由題意，在[]上遞增，則解得或或,（2）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域?yàn)閇],可證明函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因此∴ ∴ 為方程的兩個實(shí)數(shù)根. 即方程有兩個不相等的實(shí)根. 或解得，綜上所述，

試題解析：[解析]（1）由題意，在[]上遞增，則，

解得或或

所以，所求的區(qū)間為[-1，0]或[-1，1]或[0，1] . 6分（解得一個區(qū)間得2分）

（2）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，

函數(shù)的值域?yàn)閇] 6分

容易證明函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

∴ 8分

∴ 為方程的兩個實(shí)數(shù)根. 10分

即方程有兩個不相等的實(shí)根.

或 14分

解得，綜上所述， 16分

考點(diǎn)：新定義，函數(shù)與方程