Question

已知函數(shù)y=

x

x-1

，給出下列命題：
（1）函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱；
（2）函數(shù)圖象關(guān)于直線y=2-x對(duì)稱；
（3）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
（4）將函數(shù)圖象向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后與y=

1

x

的圖象重合．
其中正確的命題是

（1）（2）（4）

（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：將y=

x

x-1

化為y=1+

1

x-1

，可判斷（4）；再化為y-1=

1

x-1

可判斷（1），（3）；求出y=

x

x-1

關(guān)于直線y=2-x對(duì)稱的函數(shù)表達(dá)式可判斷（2）．

解答：解：∵y=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，∴y-1=

1

x-1

，顯然其圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱；（1）正確，（3）錯(cuò)誤；
∵y=2-x，∴x=2-y，∴y=

x

x-1

關(guān)于直線y=2-x對(duì)稱的函數(shù)表達(dá)式為：2-x=

2-y

2-y-1

，整理得y=

x

x-1

，即函數(shù)y=

x

x-1

圖象關(guān)于直線y=2-x對(duì)稱；（2）正確；
∵y=

x

x-1

=1+

1

x-1

，將函數(shù)圖象向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后可得y=

1

x

，（4）正確；
故答案為：（1），（2），（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的平移，對(duì)稱及單調(diào)性，重點(diǎn)考查學(xué)生分析與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)能力，屬于中檔題．