Question

已知函數(shù)，a為正常數(shù)．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)y=f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（2）設h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數(shù)．下面對x分類討論：①當1≤x≤2時，②當0＜x＜1時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從及最值，即可求得求a的取值范圍．
解答：解：（1），（2分）
∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，（2，+∞）．（6分）
（2）∵，
∴，
∴，（8分）
設h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數(shù)．
當1≤x≤2時，，，
令h′（x）≤0，得：對x∈[1，2]恒成立，
設，則，
∵1≤x≤2，∴，
∴m（x）在[1，2]上遞增，則當x=2時，m（x）有最大值為，
∴（12分）
當0＜x＜1時，，，
令h′（x）≤0，得：，
設，則，
∴t（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0，（15分）綜上所述，（16分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．