Question

給出下列四個(gè)命題：
①“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
則x＜0時(shí)，f′（x）＞g′（x）；
③函數(shù)f(x)=loga

3+x

3-x

(a＞0，a≠1)是偶函數(shù)；
④若對(duì)?x∈R，函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），則4是該函數(shù)的一個(gè)周期，其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題意，依次分析可得，①符合特稱命題的否定形式，正確；②分析可得f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，由奇偶函數(shù)的性質(zhì)可得x＜0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＜0，易得②正確；③將（-x）代入f（x）中，分析可得，f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；④根據(jù)題意，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則4是該函數(shù)的一個(gè)周期，正確；進(jìn)而可得答案．

解答：解：由題意，依次分析可得，
①、符合特稱命題的否定形式，正確；
②、根據(jù)題意，f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)；又由奇函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同，偶函數(shù)單調(diào)性相反，所以x＜0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x），故正確；
③、根據(jù)題意，f（-x）=loga

3-x

3+x

=-loga

3+x

3-x

=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；
④、根據(jù)題意，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則4是該函數(shù)的一個(gè)周期，正確；
綜合可得，有3個(gè)命題正確，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及特稱命題的否定、函數(shù)的周期性、單調(diào)性的判斷等知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，需要認(rèn)真分析．