20．（1）已知向量$\overrightarrow{AB}=（6，1）$，$\overrightarrow{BC}=（x，y）$，$\overrightarrow{CD}=（-2，-3）$，若$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，試求x與y之間的表達式．

（2）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，求證：A、B、C三點共線，并求$\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$的值．

分析 （1）由可得已知$\overrightarrow{AD}=（x+4，y-2）$，結合$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，可得x（y-2）=（x+4）y，整理可得答案；
（2）由已知可得：$\overrightarrow{CA}∥2\overrightarrow{CB}$，結合$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$有公共點C，可得：A、B、C三點共線，進而可得$\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$的值．

解答 （1）解：∵向量$\overrightarrow{AB}=（6，1）$，$\overrightarrow{BC}=（x，y）$，$\overrightarrow{CD}=（-2，-3）$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overline{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x+4，y-2）$
∵$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，
∴x（y-2）=（x+4）y，∴x=-2y；
（2）證明：∵$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$．
∴$-\overrightarrow{CO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}）+\frac{2}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CO}）$，
∴$\overrightarrow{CA}=-2\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CA}∥2\overrightarrow{CB}$，
∵$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$有公共點C，
∴A、B、C三點共線 
且 $\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$=2．

點評 本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，向量共線的充要條件，難度中檔．

練習冊系列答案
相關習題

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10．函數(shù)y=$\frac{\sqrt{x+1}}{x}$的定義域是（　�。�
A．[-1，+∞）B．[-1，0）C．（-1，+∞）D．[-1，0）∪（0，+∞）

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11．袋中12個小球，分別有紅球，黑球，黃球各若干個（這些小球除顏色外其他都相同），從中任取一球，得到紅球的概率為$\frac{1}{3}$，得到黑球的概率比得到黃球的概率多$\frac{1}{6}$，則得到黑球、黃球的概率分別是$\frac{5}{12}$，$\frac{1}{4}$．

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8．下列各命題中不正確的是（　�。�
A．函數(shù)f（x）=ax+1（a＞0，a≠1）的圖象過定點（-1，1）
B．函數(shù)$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}$在[0，+∞）上是增函數(shù)
C．函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函數(shù)
D．函數(shù)f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函數(shù)

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15．函數(shù)$f（x）=\frac{ln（x+1）}{x-3}$的定義域是（-1，3）∪（3，+∞）．

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5．命題“若a=b，則|a|=|b|”的逆否命題是若|a|≠|(zhì)b|，則a≠b．

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12．若“?x∈R，x2+ax+a=0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．執(zhí)行如圖程序框圖后，記“輸出（a，b）是好點”為事件A．
（1）若a為區(qū)間[0，5]內(nèi)的整數(shù)值隨機數(shù)，b為區(qū)間[0，2]內(nèi)的整數(shù)值隨機數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；
（2）若a為區(qū)間[0，5]內(nèi)的均勻隨機數(shù)，b為區(qū)間[0，2]內(nèi)的均勻隨機數(shù)，求事件A發(fā)生的概率．

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11．在平面直角坐標系xOy中，設A，B是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上的兩點，O為原點，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．
證明：$\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}$為定值．

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