Question

15．已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），其中a＞0且a≠1．
（1）對于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù)m的取值集合；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2]時，f（x）-$\frac{5}{2}$的值恒為負數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），可知f（x）在（-∞，+∞）上是遞增的奇函數(shù)．
（1）由f（1-m）+f（1-m²）＜0，有f（1-m）＜-f（1-m²），進而求出m的范圍；
由f（x）為增函數(shù)，f（x）-$\frac{5}{2}$也是增函數(shù)，只需求左式的最大值即可；

解答 解：令log_ax=t，則x=a^t，
∵f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），即f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
可知f（x）在（-∞，+∞）上是遞增的奇函數(shù)．
（1）由f（1-m）+f（1-m²）＜0，有f（1-m）＜-f（1-m²），
∴-1＜1-m＜m²-1，解得1＜m＜$\sqrt{2}$；
（2）由f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）-$\frac{5}{2}$也是增函數(shù)，
要使f（x）-$\frac{5}{2}$在指定的區(qū)間上恒為負數(shù)，
只需f（2）-$\frac{5}{2}$≤0，即$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-$\frac{5}{2}$≤0，
∴a∈[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2]．

點評 考查了換元法求函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性求解不等式和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．