Question

假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,50²)的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p₀.
(1)求p₀的值；(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ²)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4)
(2)某客運公司用A、B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次．A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p₀的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

Answer 1

(1) 0.977 2   (2)配備A型車5輛、B型車12輛

解：(1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800，50²)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.
由正態(tài)分布的對稱性，可得
p₀＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.977 2.
(2)設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的營運成本為1 600x＋2 400y.
依題意，x，y還需滿足x＋y≤21，y≤x＋7，
P(X≤36x＋60y)≥p₀.
由(1)知，p₀＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p₀等價于36x＋60y≥900.
于是原問題等價于求滿足約束條件
且使目標函數(shù)z＝1 600x＋2 400y達到最小的x，y.
作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標分別為P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．

由圖可知，當直線z＝1 600x＋2 400y經(jīng)過可行域的點P時，直線z＝1 600x＋2 400y在y軸上截距最小，即z取得最小值．
故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛．