Question

己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿足以下三條件：
①當(dāng)x₁，x₂是定義域中的數(shù)時(shí)，有f（x₁-x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）；
③當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f（x）＜0．
（1）試證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）試證明f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)．

Answer 1

（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，x₁，x₂是定義域中的數(shù)時(shí)，
有f（x₁-x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
且x₁-x₂，-（x₁-x₂）在定義域中，
∴f[-（x₁-x₂）]=f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

=-

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

=-f（x₁-x₂）；
∴f[-（x₁-x₂）]=-f（x₁-x₂）
?f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜2a，則0＜x₂-x₁＜2a，
∵在（0，2a）上，f（x）＜0，
∴f（x₁），f（x₂），f（x₂-x₁）均小于零，
進(jìn)而知f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

中，f（x₁）-f（x₂）＜0，
于是f（x₁）＜f（x₂），
∴在（0，2a）上，f（x）是增函數(shù)．
又f（a）=f（2a-a）=

f(2a )•f(a)+1

f(a )-f(2a)

，
∵f（a）=-1，∴-1=

f(2a )•f(a)+1

f(a )-f(2a)

，
∴f（2a）=0，設(shè)2a＜x＜4a，則0＜x-2a＜2a，
f（x-2a）=

f(x )•f(2a)+1

f(2a )-f(x)

=

1

-f(x)

＜0，于是f（x）＞0，
即在（2a，4a）上，f（x）＞0．
設(shè)2a＜x₁＜x₂＜4a，則0＜x₂-x₁＜2a，
從而知f（x₁），f（x₂）均大于零，f（x₂-x₁）＜0，
∵f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即
f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)．
綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)．