Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：{

1

an-1

}為等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an

-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，對(duì)任意n≥2都有B_3n-B_n＞

m

20

成立，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，由此能證明{

1

an-1

}為等差數(shù)列，并能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）b_n=

1

an

-1=

n+1

n

-1=

1

n

，令C_n=B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，從而得到{C_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，由此能求出整數(shù)m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*），
∴

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，
∵

1

a1-1

=

1

1 2 -1

=-2，
∴{

1

an-1

}是首項(xiàng)為-2，公差為-1的等差數(shù)列，
∴

1

an-1

=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1)，
∴an=

n

n+1

．
（2）b_n=

1

an

-1=

n+1

n

-1=

1

n

，
令C_n=B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，
∴C_n+1-C_n=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3(n+1)

-

1

n+1

-…-

1

3n

=-

1

n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

+

1

3n+1

=

1

3n+2

-

2

3n+3

+

1

3n+1

＞

2

3n+3

-

2

3n+3

=0，
∴C_n+1-C_n＞0，
∴{C_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴（B_3n-B_n）_min=B₆-B₂=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

，
∴m＜19，
又m∈N^*，
∴m的最大值為18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查整數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．