Question

若點(diǎn)（p，q）在|p|≤3，|q|≤3中按均勻分布出現(xiàn)．
（1）求方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率；
（2）若f(x)=x2+2

3

x+2，p，q∈Z，試求方程log|p+1.5|

q2+q+1

3

=|f(x)|，當(dāng)0＜|p+1.5|＜1時(shí)恰有兩個(gè)實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式表示的正方形區(qū)域，算出其面積為36．方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根的判別式算出p²+q²≥1，得到滿足條件的區(qū)域?yàn)檎�方形�?nèi)部且在單位圓外的陰影部分，算出其面積為36-π．最后利用幾何概型計(jì)算公式，可得所求概率；
（2）由一元二次不等式的解法，可得p、q∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，因此所有的（p，q）共有7×7=49個(gè)．再設(shè)y₁=log|p+1.5|

q2+q+1

3

，y₂=|f（x）|，利用函數(shù)圖象加以討論并結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則加以計(jì)算，可得符合條件“恰有兩個(gè)實(shí)根”的情況總共有8種，由此利用古典概型公式加以計(jì)算，即可得到所求概率．

解答：解：（1）|p|≤3，|q|≤3表示一個(gè)正方形區(qū)域，
如右圖所示，可得其面積為S=6×6=36．
若方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則△=（2p²）-4（-q²+1）≥0，即p²+q²≥1，
相應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎�方形�?nèi)部且在單位圓外，其面積為S₁=36-π，
即方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率為P₁=

S1

S

=

36-π

36

．
（2）∵f(x)=x2+2

3

x+2=[x+（

3

+1）][x+（

3

-1）]，
（其中p、q∈Z）
∴p、q∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，
所有的（p，q）共有7×7=49個(gè)．
設(shè)y₁=log|p+1.5|

q2+q+1

3

，y₂=|f（x）|，
其中y₁ 表示一條與x軸平行或重合的直線，y₂表示的曲線如下圖所示．
要使得原方程有兩個(gè)實(shí)根，則y₁與y₂的圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，可得y₁=0或y₁＞1，
又∵0＜|p+1.5|＜1，∴-2.5＜p＜-0.5，得p=-2或p=-1．
①若y₁=0，則log|p+1.5|

q2+q+1

3

=0，可得

q2+q+1

3

=1，
即q²+q-2=0，解之得q=1或q=-2，
故符合方程有兩個(gè)實(shí)根的情況有（-2，1），（-2，-2 ），（-1，1），（-1，-2），共4種情況．
②若y₁＞1，則log|p+1.5|

q2+q+1

3

＞1，可得

q2+q+1

3

＜|p+1.5|，
即

q2+q+1

3

＜0.5，解之得q=-1或q=0，
故符合方程有兩個(gè)實(shí)根的情況有：（-2，-1），（-2，0 ），（-1，-1），（-1，0）有共4種情況．
綜上所述，符合方程有兩個(gè)實(shí)根的情況共有8種，
因此，方程log|p+1.5|

q2+q+1

3

=|f(x)|當(dāng)0＜|p+1.5|＜1時(shí)恰有兩個(gè)實(shí)根的概率為P₂=

8

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型、古典概型的應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．用列舉法計(jì)算可列舉事件中的基本事件，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是解決本題的關(guān)鍵．