Question

在△ABC中，若tan

A-B

2

=

a-b

a+b

，則△ABC的形狀是（　�。�

• A、直角三角形
• B、等腰三角形
• C、等腰直角三角形
• D、等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析：當(dāng)A不等于B時(shí)，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知等式的右邊，然后和差化積后，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，兩邊同時(shí)除以tan

A-B

2

，得到tan

A+B

2

的值，由A和B都為三角形的內(nèi)角，得到A+B為直角，從而得到三角形為直角三角形；若A=B，根據(jù)“等角對(duì)等邊”得到a=b，顯然已知等式成立，此時(shí)三角形為等腰三角形，綜上，三角形ABC的形狀為直角三角形或等腰三角形．

解答：解：當(dāng)A≠B時(shí)，根據(jù)正弦定理得：

a-b

a+b

=

sinA-sinB

sinA+sinB

=

2cos A+B 2 sin A-B 2

2sin A+B 2 cos A-B 2

=

tan A-B 2

tan A+B 2

，
又tan

A-B

2

=

a-b

a+b

，
∴tan

A+B

2

=1，又A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴

A+B

2

=

π

4

，
解得A+B=

π

2

，即C=

π

2

，
則△ABC為直角三角形；
當(dāng)A=B時(shí)，a=b，tan

A-B

2

=

a-b

a+b

顯然成立，
則△ABC為等腰三角形，
綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有正弦定理，和差化積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，等腰三角形的判定的以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)A與B相等與不相等兩種情況分類討論，進(jìn)而得出三角形的形狀．由三角函數(shù)的恒等變形化簡(jiǎn)已知的等式得到tan

A+B

2

的值是解本題的關(guān)鍵．