Question

設p≠0，實系數(shù)一元二次方程z²-2pz+q=0有兩個虛數(shù)根z₁，z₂、再設z₁，z₂在復平面內(nèi)的對應點是Z₁，Z₂，求以Z₁，Z₂為焦點且經(jīng)過原點的橢圓的長軸的長．

Answer 1

因為p，q為實數(shù)，p≠0，z₁，z₂為虛數(shù)，
所以（-2p）²-4q＜0，q＞p²＞0
由z₁，z₂為共軛復數(shù)，知Z₁，Z₂關(guān)于x軸對稱，
所以橢圓短軸在x軸上，又由橢圓經(jīng)過原點，
可知原點為橢圓短軸的一端點
根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復數(shù)加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
可得橢圓的短軸長=2b=|z₁+z₂|=2|p|，
焦距離=2c=|z₁-z₂|=

|(z1+z2)2-4z1z2|

=2

q-p2

，
長軸長=2a=2

b2+c2

=2

q

.