(本小題滿分10分)已知二次函數(shù)f (x) = x2 – 16x + p + 3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點,求實數(shù)p的取值范圍;
(2)問是否存在常數(shù)q(q≥0),當(dāng)x∈[q,10]時,的值域為區(qū)間,且的長度為
12 – q.(注:區(qū)間[a,b](ab)的長度為ba)
(1)–20≤p≤12;(2)存在常數(shù)q = 8或q = 9,當(dāng)x∈[q,10]時,的值域為區(qū)間,且的長度為12–q
(1)利用零點存在性定理列出關(guān)于q的不等式,然后再利用不等式知識求解即可;(2)先利用單調(diào)性求出函數(shù)的值域,再利用區(qū)間長度列出關(guān)于q的方程,求解即可。
解:(1)∵二次函數(shù)f (x)= x2 – 16x + p + 3的對稱軸是,∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則函數(shù)在區(qū)間上存在零點須滿足.                                             ……………2分
即(1 + 16 + p + 3)(1 – 16 + p + 3)≤0, 解得–20≤p≤12.   …………………4分
⑵ 當(dāng)時,即0≤q≤6時,
的值域為:[f (8),f (q)],即[p–61, q2 –16q + p + 3].
∴區(qū)間長度為q2 – 16q + p + 3 – (p – 61) = q2 – 16q + 64 =" 12" – q
q2 – 15q + 52 =" 0" ∴,經(jīng)檢驗不合題意,舍去.……6分
當(dāng)時,即6≤q<8時,的值域為:,即[p – 61,p – 57]
∴區(qū)間長度為p – 57 – (p – 61) =" 4" =" 12" – q ∴q = 8.經(jīng)檢驗q = 8不合題意,舍去. …8分
當(dāng)q≥8時,的值域為:[f (q),f (10)],即 [q2 – 16q + p +3,p – 57].
∴區(qū)間長度為p – 57 –(q2 – 16q + p + 3) = –q2 – 16q – 60 =" 12" – q,
q2 – 17q + 72 =" 0" , ∴q = 8或q = 9.經(jīng)檢驗q = 8或q = 9滿足題意.
所以存在常數(shù)q = 8或q = 9,當(dāng)x∈[q,10]時,的值域為區(qū)間,且的長度為12–q.                                              ………………………10分
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;②;③ ,
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A.1B.C.D.0

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,則
A.0B.1C.3D.4

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