Question

直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠ABC＝60°，側(cè)棱AA₁長(zhǎng)等于3a，O為底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．

(1)求證：OA₁∥平面B₁CD₁；

(2)求異面直線AC與A₁B所成的角；

(3)在棱AA₁上取一點(diǎn)F，問(wèn)AF為何值時(shí)，C₁F⊥平面BDF？

Answer 1

答案：
解析：

(方法一)(1)連A1C1，設(shè)其與B1D1交于點(diǎn)O1． 　　∵A1O1OC，∴四邊形A1O1OC為平行四邊形， 　　∴OA1//O1C，平面B1CD1，平面B1CD1， 　　∴OA1∥平面B1CD1．　　　　　　　　　　3分 　　(2)∵A1C1//AC，∴就是異面直線AC與A1B所成的角或其補(bǔ)角． 　　由題意得 　　根據(jù)余弦定理得　　　　　　　　6分 　　故異面直線AC與A1B所成的角為　　　　　　　　　　7分 　　(3)∵ABCD是菱形，∴又∴平面． 　　∵平面，∴　　　　　　　　　　　　　　　　9分 　　故C1F⊥平面BOF∴．　　　　10分 　　設(shè)，則∴即 　　解得 　　故當(dāng)AF時(shí)，C1F⊥平面BOF．　　　　　　　　12分 　　(方法二)以O為原點(diǎn)，OC、OD所在直線分別為 　　x軸、y軸，則O(0，0，0)，，， 　　，， 　　．　　　　3分 　　(1) 　　 　　∴平面，平面， 　　∴OA1∥平面B1CD1．　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　(2)， 　　， 　　于是 　　故異面直線AC與A1B所成的角為　　　　　　　　　　　8分 　　(3)設(shè)為上任意一點(diǎn)，則． 　　∵，于是C1F⊥平面BOF 　　解得．即時(shí)，C1F⊥平面BOF．　　　　　　　12分