Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l₁與橢圓交于A，B，過(guò)F與直線(xiàn)l₁垂直的直線(xiàn)l₂與橢圓交于C，D，與直線(xiàn)l₂：x=4交于交于P，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，可得a²=

4

3

b²，利用橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+

6

=0相切，求出b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，設(shè)出方程代入橢圓方程，利用基本不等式，即可求四邊形ABCD面積的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

，∴a²=

4

3

b²，
∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+

6

=0相切．
∴b=

6

12+(-1)2

=

3

，
∴a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）①斜率不存在時(shí)，方程為x=1，
代入橢圓方程可得y=±

3

2

，
∴|AB|=3，|CD|=2a=4，
∴四邊形ABCD面積為

1

2

×3×4=6；
斜率不為0時(shí)，方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理|CD|=

12(1+k2)

4+3k2

，
∴

1

|AB|

+

1

|CD|

=

12(1+k2)

3+4k2

+

12(1+k2)

4+3k2

=

7

12

≥2

1 |AB||CD|

，
∴|AB||CD|≥

122×4

49

，
∴S_ABCD=

1

2

|AB||CD|≥

1

2

×

122×4

49

=

288

49

，
∵

288

49

＜6，
∴四邊形ABCD面積的最小值為

288

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．