Question

12．已知$\frac{3π}{4}$＜α＜π，tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{si{n}^{2}（π+α）+2sinαsin（\frac{π}{2}+α）+1}{3sinαcos（\frac{π}{2}-α）-2cosαcos（π-α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件解方程求得tanα的值，再根據(jù)α的范圍，進一步確定tanα的值．
（2）由條件利用 誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得所給式子的值．

解答 解：（1）因為tan α+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$，所以3tan²α+10tan α+3=0，
解得tan α=-$\frac{1}{3}$或tan α=-3．
因為$\frac{3π}{4}$＜α＜π，所以-1＜tanα＜0，所以tanα=-$\frac{1}{3}$．
（2）原式=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα+1}{{3sin}^{2}α+{2cos}^{2}α}$=$\frac{{2sin}^{2}α+2sinαcosα{+cos}^{2}α}{{3sin}^{2}α+{2cos}^{2}α}$=$\frac{{2tan}^{2}α+2tanα+1}{{3tan}^{2}α+2}$=$\frac{5}{21}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．