Question

已知函數(shù)f(x)=-x+log2

1-x

1+x

．
（1）求f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)的值；
（2）當(dāng)x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常數(shù)，函數(shù)f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由

1-x

1+x

＞0得(x+1)(x-1)＜0解得-1＜x＜1
函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）
又∵f(-x)=x+log2

1-x

1+x

=x-log2

1-x

1+x

=-f(x)
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，即f（-x）+f（x）=0
∴f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)=0．
（2）任取x₁、x₂∈（-1，1）且設(shè)x₁＜x₂．
則f(x2)-f(x1)=(x1-x2)+log2

1-x2

1+x2

-log2

1-x1

1+x1

易知f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以函數(shù)f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，
又x∈（-a，a]且a∈（0，1]，
所以f(x)min=f(a)=-a+log2

1-a

1+a

．