Question

污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)最小(A、B孔面積忽略不計(jì)).

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)，根據(jù)題意可知：y=，其中k＞0且k是比例系數(shù).依題意要使y最小，只需求ab的最大值. 由題設(shè)得：4b＋2ab＋2a=６0  （a＞0，b＞0） 即a＋2b＋ab=30  （a＞0，b＞0) ∵a＋2b≥2  ∴2＋ab≤30 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取“=”號(hào)，ab有最大值. ∴當(dāng)a=2b時(shí)有2＋ab=30 即b2＋2b－1５=0 解之得：b 1=3，b2=－５（舍去) ∴a=2b=６ 故當(dāng)a=６米，b=3米時(shí)經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少. 解法二：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)，由題意可知：4b＋2ab＋2a=６0（a＞0，b＞0） ∴a＋2b＋ab=30        （a＞0，b＞0） ∴b=        （0＜a＜30） 由題設(shè)：y=，其中k＞0且k是比例系數(shù)，依題只需ab取最大值. ∴y= = ≥ ∴當(dāng)且僅當(dāng)a＋2=時(shí)取“=”號(hào)，即a=６，b=3時(shí)ab有最大值18. 故當(dāng)a=６米，b=3米時(shí)經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少.