【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos22x﹣2,給出下列命題: ①β∈R,f(x+β)為奇函數(shù);
α∈(0, ),f(x)=f(x+2α)對x∈R恒成立;
x1 , x2∈R,若|f(x1)﹣f(x2)|=2,則|x1﹣x2|的最小值為 ;
x1 , x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,則x1﹣x2=kπ(k∈Z).其中的真命題有(
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

【答案】C
【解析】解:由題意,f(x)=2cos22x﹣2=cos4x﹣1;

對于①,∵f(x)=cos4x﹣1的圖象如圖所示:

函數(shù)f(x+β)的圖象是f(x)的圖象向左或向右平移|β|個單位,

它不會是奇函數(shù)的,故①錯誤;

對于②,f(x)=f(x+2α),∴cos4x﹣1=cos(4x+8α)﹣1,

∴8α=2kπ,∴α= ,k∈Z;

又α∈(0, ),∴取α= 時,

∴f(x)=f(x+2α)對x∈R恒成立,②正確;

對于③,|f(x1)﹣f(x2)|=|cos4x1﹣cos4x2|=2時,

|x1﹣x2|的最小值為 = = ,∴③正確;

對于④,當(dāng)f(x1)=f(x2)=0時,

x1﹣x2=kT=k = (k∈Z),∴④錯誤;

綜上,真命題是②③.

故選:C.

化簡函數(shù)f(x),畫出f(x)的圖象,根據(jù)圖象平移判斷函數(shù)f(x+β)不是奇函數(shù),判斷①錯誤;

根據(jù)f(x)=f(x+2α)求出方程在α∈(0, )的解,判斷②正確;

由|f(x1)﹣f(x2)|=2時,|x1﹣x2|的最小值為 = ,判斷③正確;

當(dāng)f(x1)=f(x2)=0時,x1﹣x2=kT= ,判斷④錯誤.

練習(xí)冊系列答案
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喜歡打籃球

不喜歡打籃球

合計

男生

5

女生

10

合計

已知在這50人中隨機抽取1人,抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為
(Ⅰ)請將上述列聯(lián)表補充完整;
(Ⅱ)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡打籃球與性別有關(guān)?
附:K2=

p(K2≥k0

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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(2)AC1A1B,求證:AC1BC.

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