Question

已知點P_n(a_n，b_n)滿足a_n＋1＝a_n·b_n＋1，b_n＋1＝(n∈N^*)

且點P₁的坐標為(1，－1)．

   (1)求過點P₁，P₂的直線l的方程；

(2)試用數(shù)學歸納法證明：對于n∈N^*，點P_n都在(1)中的直線l上．

Answer 1

(1)解　由P₁的坐標為(1，－1)知a₁＝1，b₁＝－1.

∴b₂＝＝，a₂＝a₁·b₂＝.

∴點P₂的坐標為.

∴直線l的方程為2x＋y＝1.

(2)證明　①當n＝1時，2a₁＋b₁＝2×₁＋(－1)＝1成立．

②假設n＝k(k∈N^*，k≥1)時，2a_k＋b_k＝1成立．

則2a_k＋1＋b_k＋1＝2a_kb_k＋1＋b_k＋1

＝(2a_k＋1)＝＝＝1.

∴n＝k＋1時，命題也成立．

由①②知，對n∈N^*，都有2a_n＋b_n＝1，即點P_n在直線l上．