Question

以下四個命題：
①在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB，則B=

π

4

；
②設(shè)

a

，

b

是兩個非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，則存在實數(shù)λ，使得

b

=λ

a

；
③方程sinx-x=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解有且僅有一個；
④函數(shù)f(x)=

|x|-sinx+1

|x|+1

的最大值為M，最小值為m，則M+m=4；
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①在△ABC中，由bsinA=acosB，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB，進而得到tanB=1，即可得出．
②設(shè)

a

，

b

是兩個非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，利用數(shù)量積可得cos＜

a

，

b

＞=±1，再利用向量共線定理可得存在實數(shù)λ，使得

b

=λ

a

；
③令f（x）=x-sinx，利用導數(shù)可得f′（x）=1-cosx≥0，得到函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，再利用函數(shù)零點的意義即可得出；
④變形成如下：f（x）=1-

sinx

|x|+1

，令g（x）=

sinx

|x|+1

，可知g（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：①在△ABC中，∵bsinA=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∴tanB=1．
∴B=

π

4

，正確；
②設(shè)

a

，

b

是兩個非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，∴cos＜

a

，

b

＞=±1，則存在實數(shù)λ，使得

b

=λ

a

，正確；
③令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，而sin0-0=0，即f（0）=0．
∴方程sinx-x=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解有且僅有一個0，正確；
④函數(shù)f(x)=

|x|-sinx+1

|x|+1

=1-

sinx

|x|+1

．
令g（x）=

sinx

|x|+1

，可知g（x）為奇函數(shù)，
因此g（x）最大最小值互為相反數(shù)，
故M+m=1+g（x）_max+1+g（x）_min=2．
因此④不正確．
綜上可知：正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題綜合考查了正弦定理、數(shù)量積的意義、向量共線定理、函數(shù)零點定理、奇函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和解決實際問題的能力，屬于難題．