Question

函數(shù)f（x）=x³-（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1處的切線相互垂直，求這兩個(gè)切線方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）-g（x）單調(diào)遞增，求a的范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）與g（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)值即兩曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率，利用兩線垂直斜率之積為-1將兩個(gè)值乘起來(lái)等于-1，求出a，將a的值代入f（x），求出f（1），g（1）；利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程．
（II）求出F′（x），令其大于等于0恒成立；分離出a，構(gòu)造函數(shù)h（x），通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最小值，令a小于等于最小值．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-（a+1），g'（x）=lnx+1
∴f'（1）=2-a     g'（1）=1
∵兩曲線在x=1處的切線互相垂直
∴（2-a）×1=-1
∴a=3
∴f'（1）=-1     f（1）=0
∴y=f（x）在x=1處的切線方程為x+y-1=0，
同理，y=g（x）在x=1處的切線方程為x-y-1=0（6分）
（II）由F（x）=x³-（a+1）x+a-xlnx
得F'（x）=3x²-（a+1）-lnx-1=3x²-lnx-a-2（8分）
∵F（x）=f（x）-g（x）單調(diào)遞增
∴F'（x）≥0恒成立
即a≤3x²-lnx-2（10分）
令h（x）=3x²-lnx-2
h′(x)=6x-

1

x

 (x＞0)
令h'（x）＞0得x＞

6

6

，
令h'（x）＜0得0＜x＜

6

6

∴h(x)min=h(

6

6

)=-

3

2

+

1

2

ln6
∴a的范圍為(-∞  ， （13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率、考查兩直線垂直斜率之積為-1、考查直線方程的點(diǎn)斜式、考查函數(shù)單增得到導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立、考查解決不等式恒成立常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．