已知f(x)=-
4+
1
x2
,數(shù)列{an} 的前n項和為Sn,點Pn(an,-
1
an+1
)
在曲線y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0.
(1)求數(shù)列{an} 的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且滿足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
,b1=1,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)求證:Sn
1
2
4n+1
-1
,n∈N*
分析:(1)-
1
an+1
=f(an) =-
4+
1
an2
,且an>0,所以
1
an+1
=
4+
1
an2
,所以
1
an+12
-
1
an2
=4
,(n∈N*),由此能求出數(shù)列{an} 的通項公式.
(2)由an=
1
4n-3
(n∈N*)
,
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
,得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),
所以
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1
,由此能求出數(shù)列{bn}的通項公式.
(3)由an=
1
4n-3
,知an=
2
2
4n-3
4n+1
-
4n-3
2
.由此能夠證明Sn
1
2
4n+1
-1
,n∈N*
解答:(1)解:-
1
an+1
=f(an) =-
4+
1
an2
,且an>0,
1
an+1
=
4+
1
an2

1
an+12
-
1
an2
=4
,(n∈N*),
∴數(shù)列{
1
an2
}是等差數(shù)列,首項
1
a12
=1,公差d=4
1
an2
=1+4(n-1)
,
an2=
1
4n-3

∵an>0,
an=
1
4n-3
(n∈N*)
…(4分)
(2)解:由an=
1
4n-3
(n∈N*)
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3

得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1

∴數(shù)列{
Tn
4n-3
}
是等差數(shù)列,首項為
T1
4-3
=1
,公差為1
Tn
4n-3
=n
,∴Tn=4n2-3n當n≥2時,bn=Tn-Tn-1=8n-7b1=1也滿足上式
∴bn=8n-7,n∈N*.…(8分)
(3)證明:an=
1
4n-3
,
an=
2
2
4n-3
2
4n-3
+
4n+1

=
4n+1
-
4n-3
2

∴Sn=a1+a2+…+an
1
2
(
5
-1)+
1
2
 (
9
-
5
)
+…+
1
2
(
4n+1
-
4n-3
)=
1
2
4n+1
-
1
2
1
2
4n+1
-1
…(12分)
點評:本題首先考查數(shù)列與不等式的綜合應用,結合數(shù)列的性質解決不等式的處理問題,對數(shù)學思維的要求比較高,要求具有較強的計算能力,本題有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=-
4+
1
x2
數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點Pnan,-
1
an+1
)
在曲線y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn且滿足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16a2-8n-3,設定b1的值使得數(shù){bn}是等差數(shù)列;(Ⅲ)求證:Sn
1
2
4n+1
-1,n∈N*

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=-
4+
1
x2
數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點Pn(an,-
1
an+1
)在曲線y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求證:Sn
1
2
4n+1
-1,n∈N*

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•丹東模擬)如圖,在豎直平面內有一個“游戲滑道”,空白部分表示光滑滑道,黑色正方形表示障礙物,自上而下第一行有1個障礙物,第二行有2個障礙物,…,依此類推.一個半徑適當?shù)墓饣鶆蛐∏驈娜肟贏投入滑道,小球將自由下落,已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點時,向左、右兩邊下落的概率都是
1
2
.記小球遇到第n行第m個障礙物(從左至右)上頂點的概率為P(n,m).
(Ⅰ)求P(4,1),P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表達式(不必證明);
(Ⅱ)已知f(x)=
4-x,1≤x≤3
x-3,3<x≤6
,設小球遇到第6行第m個障礙物(從左至右)上頂點時,得到的分數(shù)為ξ=f(m),試求ξ的分布列及數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=4|x|3-2a|x|.
(1)設f(x)圖象在點(-1,f(-1))處的切線方程是2x+y+b=0,求b的值.
(2)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)在[-1,1]內的最小值為-2,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案