Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（I）由已知中數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=2-S_n，我們依次取n=1，2，3，4，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后分析所得前4項(xiàng)，分子和分母的分布規(guī)律，即可推斷出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）由a_n=2-S_n可得a_n-1=2-S_n-1，兩式相減即可判斷出數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

解答：解：（1）a1=1，a2=

1

2

，a3=

1

4

，a4=

1

8

（4分）
猜想an=(

1

2

)n-1（6分）
（2）證明：

∵an=2-Sn

，
∴an-1=2-Sn-1(n≥2)∴an-an-1=2-Sn-(2-Sn-1)，即

an

an-1

=

1

2

(n≥2)
又∵a₁=2-S₁=2-a₁，
∴a1=1∴{an}是以1為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比關(guān)系的確定及歸納推理，其中在確定等比數(shù)列時(shí)的關(guān)鍵是判斷a_n，a_n-1是否為一個(gè)常數(shù)．