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設函數f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1),求f(x)的最小值.
考點:利用導數研究函數的極值,函數的最值及其幾何意義,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值
專題:導數的綜合應用
分析:求函數的導數,利用導數研究函數的單調性即可求出函數的最值.
解答: 解:函數的f(x)的導數f′(x)=log2x+
1
ln2
-log2(1-x)-
1
ln2
=log2x-log2(1-x)
由f′(x)>0得log2x-log2(1-x)>0,即log2x>log2(1-x),即x>1-x,
解得
1
2
x<1,此時函數單調遞增,
由f′(x)<0得log2x-log2(1-x)<0,即log2x<log2(1-x),即x<1-x,
解得0<x<
1
2
,此時函數單調遞減,
故當x=
1
2
時,函數f(x)取得極小值同時也是最小值f(
1
2
)=
1
2
log2
1
2
+(1-
1
2
)log2(1-
1
2
)=-
1
2
-
1
2
=-1.
點評:本題主要考查函數最值的求解,利用復合函數導數的運算法則,求函數的導數,利用導數研究函數的最值是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

計算:log3
427
3
+lg25+lg4+7log72+log23•log34;
設集合A={x|
1
32
≤2-x≤4},B={x|m-1<x<2m+1}.若A∪B=A,求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數f(x)=
x(|x|+1),x<1
2x-2,x≥1
若直線y=a與函數f(x)的圖象恰有兩個公共點,則實數a的取值范圍是( 。
A、(0,2)
B、[0,2)
C、(0,2]
D、[1,2]

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=ax2-2x+2在[0,2]上有最大值8,求正數a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知集合U=R,A={x|1≤x≤4},B={x|(x+2)(x-3)<0},C={x|m+1<x<2m-1}
(1)求A∪B,(CUA)∩B.
(2)若C⊆(A∪B),求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

對稱問題
①點關于點對稱,如(x0,y0)關于(a,b)對稱點為
 

②點關于線對稱,如(1,2)關于y=3x對稱點為
 
.特別地,(x0,y0)關于直線y=x對稱的點為
 
,(x0,y0)關于直線y=-x對稱的點為
 

③線關于點對稱:如直線Ax+By+C=0關于點(x0,y0)對稱的直線為
 

④線關于線對稱:如:直線Ax+By+C=0關于直線y=x對稱的直線方程為
 
;直線Ax+By+C=0關于直線y=-x對稱的直線方程為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

在單調遞減的等比數列{an}中,a1=
1
16
,若
5
4
a2是a1,a3的等差中項.
(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求數列{
1
bn
}的前項和Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點,若∠PDA=45°,
(1)求證:MN∥平面PAD且MN⊥平面PCD.
(2)探究矩形ABCD滿足什么條件時,有PC⊥BD.

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科目:高中數學 來源: 題型:

直線l1、l2的方向向量分別為
a
=(1,2,-2),
b
=(-2,3,2),則( 。
A、l1∥l2
B、l1與l2相交,但不垂直
C、l1⊥l2
D、不能確定

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