Question

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差.

(1)設(shè)數(shù)列{a_n}是公方差為p的等方差數(shù)列，求a_n和a_n-1(n≥2,n∈N)的關(guān)系式；

(2)若數(shù)列{a_n}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；

(3)設(shè)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將a₁,a₂,a₃,…,a₁₀這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數(shù).

Answer 1

(1)解：由等方差數(shù)列的定義可知a_n²-a_n-1²=p(n≥2,n∈N).             

(2)證法一：∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d.

又{a_n}是等方差數(shù)列，∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n².                                  

∴(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n),即d(a_n+a_n-1-a_n+1-a_n)=-2d²=0.                

∴d=0，即{a_n}是常數(shù)列.                                                  

證法二：∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a_n-a_n-1=d.                       ①

又{a_n}是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為p，則a_n²-a_n-1²=p,                         ②

將①代入②,得d²+2da_n-p=0.                                              ③

同理,有d²+2da_n-1-p=0.                                                   ④

兩式相減得2d(a_n-a_n-1)=2d²=0.                                               

∴d=0，即{a_n}是常數(shù)列.                                                  

證法三：(接證法二①、②)

由①、②得出：若d=0，則{a_n}是常數(shù)列.                                     

若d≠0，則a_n=+是常數(shù),矛盾.                                         

∴{a_n}是常數(shù)列.                                                           

(3)解:依題意，a_n²-a_n-1²=2(n≥2,n∈N)，

a₁²=4,a_n²=4+2(n-1)=2n+2，∴a_n=或a_n=-,                      

即該密碼的第一個數(shù)確定的方法數(shù)是1，其余每個數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種確定方法，當(dāng)每個數(shù)確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是2⁹=512種.故這種密碼共512種.